Fórmulas usuales de cálculo financiero


 

1.- Rentas (e imposiciones) ciertas constantes

                   (1 + i)n - 1

            C  ----------------- Valúa n cuotas de importe C en el momento del pago de la última de ellas.

                      i               Se utiliza para imposiciones vencidas. Si se quisiera el mismo resultado 

                                        para imposiciones de cuotas adelantadas, la fórmula debe ser multiplicada

                                       por (1 + i).                                      

                   1 - (1 + i)-n

            C  ----------------- Valúa n cuotas de un período antes del vencimiento de la primera, que para

                      i               los préstamos de cuotas vencidas equivale al momento de su 

                                        otorgamiento.

                                        Si se lo multiplicase por (1 + i) quedaría valuado a ese momento, pero en un 

                                        sistema de cuotas adelantadas. Esta es la típica fórmula de valor actual, es 

                                        decir, que lo anterior se iguala a VA; y a partir de ahí se puede hallar el valor 

                                       de la cuota despejando términos. También se podría expresar: 

          1 - vn                                                                                    1

   C  ------------  donde se utiliza el factor de actualización         v= -----------

            i                                                                                         1+i   

            El término (1 + i)-m   sirve, si se lo coloca multiplicando la fórmula de VA anterior, para

            actualizar el resultado de dicha ecuación, una cantidad m de períodos; lo que equivaldría

           a medir el importe del préstamo m períodos antes del vencimiento de la primera cuota.

            La ecuación quedaría así:

                           1 - (1 + i)-n

            VA = C  ---------------- (1 + i)-m    donde m = período de diferimiento y n = cantidad

                                  i                            de pagos (vencidos o adelantados). Los índices no                                                                  se deben confundir, puesto que representan 

                                                                 condiciones diferentes.

 

2.- Equivalencia de tasas

                                                           jm     

                (1 + i) = (1 + im)m = (1 + ------)m

                                                            m

                                                          fn     

                (1 - d) = (1 + dn)n = (1 - ------)n

                                                          n

3.- Sistemas de amortización

            p/0 < p <= n     Se utilizará la letra p para representar a cualquiera de las cuotas

                                        del préstamo.

            V0                       Capital pendiente de pago en el momento cero; es decir, capital 

                                        total prestado. De la misma manera, Vp simboliza el capital 

                                        adeudado inmediatamente después del pago de la cuota número p.

             i                         Tasa de interés. Su periodicidad debe ser equivalente a la de las cuotas.

             n                        Cantidad de cuotas en que se divide el préstamo.

             tp                        Porción de amortización de la cuota número p.

            Cp                      Cuota número p.

            Tp                       Porción del préstamo amortizada hasta el instante posterior al pago

                                       de la cuota p.

            I(p-1;p)                 Interés contenido en la cuota p.

 

           C = t + i              Cada cuota está compuesta tanto de capital como de interés.

           C1 = I(0;1) + t1 = V0 . i + t1  La primera cuota está compuesta por una porción de interés

                                       (que es igual a la tasa de interés aplicada durante un período al capital                                            prestado) y una porción de amortización del capital (que varía según

                                        sea el sistema utilizado).

                                       Generalizando.....   Cp = I(p-1;p) + tp = Vp-1 . i + tp     aunque esto es

                                       sólo aplicable a los sistemas que utilicen un cálculo de intereses sobre

                                       saldos.

           Vn = 0                  El capital pendiente de pago luego de pagada la última cuota es nulo.

           V0 = T              El total de capital amortizado luego de pagada la última cuota es el monto

                                       que pedí prestado.

           Vp + Tp = Vo      En cualquier momento p, la suma del capital que aún se adeuda y el 

                                       capital amortizado hasta ese momento es igual al total del capital prestado.

           Vn-1 = tn             El saldo de deuda luego de pagadas n-1 cuotas es la amortización de

                                       la última cuota.

 

                          1 - (1 + i)-n

            V0 = C  -----------------      El valor total del préstamo es igual a las n cuotas actualizadas

                                 i               a la tasa de referencia.

 

                          1 - (1 + i)-n+p

            Vp = C  -------------------    El valor residual del préstamo es igual a las cuotas que faltan

                               i              pagar, actualizadas a la tasa de referencia (forma prospectiva).

                                                     Esta ecuación también se puede utilizar para despejar C.

                                                   1 - (1 + i)p

            Vp  = V0 - Tp = V0 -  [ t1  ----------------- ]   Calculado en forma retrospectiva, el saldo de

                                                      i                  deuda al inicio de un determinado período es

                                        el valor total del préstamo menos el total amortizado hasta ese momento.

            tnt1 . ( 1 + i )n-1      y generalizando.....   tpts . ( 1 + i )p-s . La amortización de

                                        capital contenida en cada cuota varía en progresión geométrica.

                          (1 + i)p - 1 

            Tp =  t1  -----------------       El total amortizado al momento p es una imposición de p veces

                                i                   el fondo amortizante.

            C =  t1 . ( 1 + i )n              La cuota también se puede calcular conociendo la última

                                                      amortización tnt1 . ( 1 + i )n-1 y llevándola al momento de

                                                     pago de la última cuota, multiplicándola por (1+ i ). Acá se                                                       puede hallar t1, despejando.            

             Ip = C - t1. ( 1 + i )p-1       El interés contenido en una cuota cualquiera se obtiene restando

                                                      de la cuota, la porción de amortización que corresponde a ese

                                                       período.

 

                    V0

              t = ---------                       En este sistema, todas las cuotas de amortización son iguales,

                      n                              o sea  t1 = t2 = ...... = tn  porque resultan de operar dos

                                                      "constantes",

                                                                                                 

            Tp =  p . t                           El total  amortizado al momento p es un múltiplo de p veces

                                                      el fondo amortizante.

 

            Vp  = V0 - p . t                  En este sistema es mucho más fácil calcular el capital

                                                      adeudado a un momento dado, a través de la forma

                                                      retrospectiva; todo lo que me prestaron menos lo que

                                                      ya pagué, o lo que es lo mismo, Vp  = ( n -p ) . t

            Cp   = C1 - ( p -1 ).ti      y generalizando ....... Cp   = Ck - ( p -k ).ti  , la cuota varía en

                                                      progresión aritmética de razón ti 

          Variante pura: Dado un capital prestado, se pagan intereses sobre el mismo durante una

                                      cantidad de períodos, hasta que en el último período se devuelve la

                                      totalidad del capital (más el interés de dicho período).

             Cp   = I(p-1;p) = V0 . i            .....  y.....       Cp   = V0 + V0 .

 

          Variante americana propiamente dicha: El sistema funciona igual que en el caso

                                      anterior, pero se centra la atención en cómo devolver el capital al final de

                                      los n períodos. Para ello se van depositando en una cuenta, imposiciones

                                      constantes que devengan un interés r, que siempre es menor al interés 

                                      que se paga por el préstamo.

 

 

                                                    V

             t1 = t2 = ...... = tn  = ----------   La amortización que se paga en cada cuota es siempre

                                                   n         la misma.

             I(p-1;p) = V0 . i    A diferencia de los otros sistemas, aquí la tasa de interés se aplica

                                        siempre sobre el capital inicial, por lo que el verdadero costo del

                                        préstamo, medido en una tasa calculada sobre saldos, es mucho mayor.

                                                     V

             C1 = C2 = ...... = C  = -------- +  V0 .  Todas las cuotas son iguales, al estar

                                                   n            

                                                                        compuestas por intereses y amortizaciones iguales.

 

             Existe una variante de este sistema, denominado Tasa Directa Descontada, en la que los

             intereses se descuentan en el momento de otorgar el préstamo. Es decir, se devuelve el 

            importe del préstamo en su totalidad pero se recibe restado de los intereses. En símbolos:

 

              I(0;n) = V0 . i . n     Primero se calculan todos los intereses.

              V0 - I(0;n)               Capital recibido.

                       V

             C  = --------             Finalmente se calcula el valor de las cuotas.

                       n