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TRABAJOS PRACTICOS  

  TEORÍA DE LOS JUEGOS

***EJERCICIO 1:

Sea la matriz de beneficios del jugador I de un juego de suma constante expresado en forma normal y donde éste posee 3 estrategias posibles contra 4 de su contrincante:

7

9

6

8

4

8

5

7

9

5

14

 

10

a) Determine las estrategias dominadas de cada jugador y elimínelas.

b) Establezca el valor MAXIMIN del jugador I y el resultado MINIMAX del jugador II.

c) En la medida en que el juego se repita muchas veces, ¿En qué proporción empleará el jugador I cada una de las estrategias si su objetivo es maximizar la pérdida esperada mínima de su contrincante? (o sea, obtener una ganancia mínima garantizada).

d) ¿Cuál es el valor del juego?

 

**EJERCICIO 2:

Si la matriz de beneficios del jugador uno que dispone de tres estrategias en un juego de suma cero de dos personas es la que sigue:

5

7

2

7

 

6

5

8

7

 

4

6

1

5

a) Averigüe la estrategia mixta óptima del segundo jugador.

b) Averigüe el valor del juego.

 

**EJERCICIO 3:

Una agencia de publicidad ofrece dos campañas de publicidad -alternativas y excluyentes- a un maximizador de beneficios que enfrenta una curva de demanda lineal con pendiente negativa por su producto. Una de las estrategias asegura que duplicará el precio para cada posible nivel de demanda mientras que la otra promete duplicar la cantidad demandada para cada posible nivel de precio. Si el costo de cualquiera de las campañas es el mismo, ¿Cuál de ellas será elegida si:

a) los costos medios son constantes?

b) los costos medios son decrecientes?

 

**EJERCICIO 4:

Brigantti y Obtusso deben jugar un número importante de partidas de Morra de Dos Dedos. Es de $1 el premio por cada dedo acertado por partida para el correspondiente jugador exitoso -cero si empata- y pagadero por el jugador perdedor, como se sabe. Si resulta que Obtusso ha sido amenazado de muerte en caso que muestre más de un dedo -circunstancia ésta conocida por Brigantti- , establezca la estrategia mixta óptima de cualquiera de los jugadores y determine el valor del juego.

 

 **EJERCICIO 5:

Si la matriz de beneficios del jugador uno de un juego de dos personas de suma cero es la que sigue:

5

7

2

9

4

8

1

3

1

previa aplicación del principio de dominación:

a) Encuentre el valor del juego.

b) Determine la estrategia mixta maximin para el primer jugador y la estrategia minimax para el segundo.

 

**EJERCICIO 6:

Dos duopolistas que producen bienes diferenciales deben elegir una estrategia publicitaria, para un período determinado, en forma irrevocable y secreta. Una campaña -llámesela Positiva- enfatizaría la bondad del producto ofrecido, mientras que la otra -Negativa-, denigraría el producto de la competencia. También se contempla la posibilidad de decidir no efectuar publicidad alguna (No Pu). Si ambas empresas optan por las campañas Positivas, el beneficio previsto para cada una de ellas será un 50% mayor que el previsto para el caso en que ninguna de ellas efectúe publicidad -caso que se utilizará como referencia en todas las restantes alternativas-. Si ambas optan por campañas Negativas el beneficio previsto se incrementa en un 30%. En la situación que una de las empresas optare por una campaña Positiva y la otra por la Negativa el correspondiente beneficio previsto se incrementa en un 10% para la primera y en 4% para la otra. Finalmente si uno de ellos no publicita, dos son las posibilidades: que el restante decida por una campaña Positiva o Negativa. En el primer caso no se modifica el beneficio previsto por el primero pero se incrementa en 10% el beneficio del segundo, en tanto que en el otro caso, quien no publicita reduce su beneficio en 10% mientras que su competidor lo incrementa en un 5%. Si se adopta el valor 100 como índice de beneficio para ambas firmas para el caso NoPu-NoPu,

a) Plantee la matriz de beneficios previstos de ambas empresas.

b) Indique qué par (es) de estrategias constituyen un equilibrio de Nash y fundamente su respuesta.

c) Compare con los valores Maximin de ambos competidores.

d) Si uno de los duopolistas fuera "envidioso" -dado que su función de utilidad lineal pondera positivamente en 20% el propio índice de beneficio previsto y en menos 80% el beneficio del contrincante (le causa desutilidad el beneficio ajeno!) -mientras que para el otro, su utilidad sólo depende de su propio beneficio -suponga que su utilidad es idéntica al índice de beneficio previsto por éste-: 

 

**EJERCICIO 7:

Explique el dilema del prisionero y muestre si la alternativa confesar-confesar constituye un equilibrio de Nash aún si se reducen sustancialmente las "pérdidas" de no confesar cuando el otro si lo hace.

 

**EJERCICIO 8:

En el siguiente juego en forma normal de 2 jugadores con tres estrategias puras para cada uno encuentre:

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a) el conjunto de estrategias puras que determinan equilibrios de Nash, si los hubiera.

b) muestre que el jugador 2 puede limitar la ganancia esperada del jugador 1 a 2,66 como máximo por juego si el mismo se repite muchas veces y si se abstuviera de utilizar su estrategia C.

 

***EJERCICIO 9:

Dos jugadores negocian como repartir $100. Al principio del período 1, el jugador 1 ofrece la proporción z de los $100 al jugador 2 proponiendo quedarse, en consecuencia, con 1-z para sí.

Si el jugador 2 acepta, el partido termina inmediatamente; caso contrario, el jugador 2 propone - en el inicio del período siguiente - al jugador 1 que acepte la proporción s de los $100 (guardándose entonces, 1-s de los $100). Si el jugador 1 acepta, se termina el juego; caso contrario los $100 se reparten en la proporción x y 1-x, respectivamente, entre los jugadores 1 y 2 (al principio del tercer período).

Encuentre la solución de Nash si ambos jugadores descuentan los pagos futuros a una tasa d por período (es decir, que $1 en el período uno, equivale a $ 1 + d en el período 2 y a (1+d)2 en el tercero).

 

Ejercicio 10:

 2) En el juego de la división de cien pesos , si el jugador 1 tiene una tasa de descuento entre movidas del 50% mientras que el jugador 2 tiene otra del 25% y la división final favorece al primer jugador dado que recibiría $ 58 si ninguna de las partes acepta el ofrecimiento del otro

i) ¿ En los zapatos de qué jugador preferiría estar Vd. y porqué?

ii)¿ Qué división final haría que le dé lo mismo estar en un lugar u otro?

iii) ¿Qué cambio en la tasa de descuento del jugador 2 haría que le de lo mismo estar en uno u otro lugar?

 

EJERCICIOS COMBINADOS.

 **EJERCICIO 1:

En la estación "Vivitos", distante 10 Km de la ciudad homónima, cada domingo arriba por ferrocarril un nuevo contingente de 48 pasajeros que desea llegar a la ciudad cuanto antes. Cada uno de los pasajeros tiene un cartelito en la solapa con un número entero entre 0 y 47 que indica el precio máximo que cada pasajero está dispuesto a pagar para llegar cuanto antes a la ciudad. Resulta curioso observar que jamás número alguno se repite entre los distintos pasajeros.

El único medio de transporte disponible cuando arriba el nombrado contingente es el ómnibus de 50 plazas "El Rapidito" cuyo dueño es un maximizador de beneficios notorio y quien está autorizado por las autoridades municipales a solo realizar un viaje diario y cobrar un boleto único por pasajero a la ciudad. Es sabido que el costo fijo de "El Rapidito" es de $100 por viaje y que su costo variable es de $8 por pasajero transportado.

a) ¿Cuántos pasajeros transportará "El Rapidito" y a qué precio por pasajero?

b) Si apenas partido "El Rapidito" llegara otro ómnibus -denominado "El Lentito"- de igual envergadura que el anterior y con idéntica autorización municipal que "El Rapidito" pero pudiendo cobrar un boleto único distinto a éste -y cuyos costos por viaje son $150 fijos y $4 por pasajero transportado y quien también maximiza beneficios, ¿En cuánto estima Ud. que "El Lentito" fijará el valor del boleto y cuántos pasajeros transportará?

c) Si ambos ómnibus estuvieran bajo el control de una sola empresa -y no existiera economía de costos alguna por dicha razón:

d) ¿Cómo modificaría su respuesta a a), b) y c) si :

1) el supuesto de conducta es en cada caso el de maximizar los ingresos totales sujeto a una restricción de no obtener pérdidas extraordinarias en lugar de maximizar beneficios?

2) (para intentar como tarea únicamente) la autorización municipal permitiera más de un viaje por ómnibus y los "costos fijos" se incurrieran por día domingo en lugar de por viaje? (y suponga que sólo se incurren si se usa el transporte correspondiente).

 

***EJERCICIO 2:

Durante los varios últimos domingos del año, en la conocida ciudad de "Vivitos" las empresas "El Rapidito" y "El Lentito" -propietarias cada una de ellas de un colectivo con 50 plazas- han estado cobrando respectivamente $30 y $19 por boleto para transportar pasajeros de la estación a la ciudad el 50% de los domingos y $20 y $28 los domingos restantes.

El primer conjunto de precios se verificó cuando llegaba "El Rapidito" a la estación para recoger a los pasajeros en primer lugar. El segundo conjunto, cuando llegaba primero "El Lentito". Se deduce de este y otros elementos que no resulta posible que ambos micros llegasen simultáneamente a la estación. Cabe recordar que la demanda de los pasajeros, con las características ya conocidas por Ud. puede resumirse en la siguiente ecuación: Xd = 48 -P.x

Además debe contabilizarse que en el período señalado las funciones de costos de estas empresas por viaje han sido estimadas en $(100 + 12x1) para "El Rapidito" y para la otra empresa $(120 + 8x2).

Por otra parte, el concejal por el partido Orden y Justicia, Don Juan Justo, ha denunciado a las firmas transportistas de actuar colusivamente (y en contra de los intereses de los pasajeros) en expresa violación de la autorización municipal a las empresas que NO permite -y esto ha sido confirmado por la COMISIÓN ANTIMONOPOLIO de la lectura de la autorización pertinente- que ellas actúen en forma coordinada, explícitamente o no, para mejorar sus rentabilidades, si bien como es sabido, les da libertad para cobrar distintos precios por viajes distintos pero los obliga a cobrar un mismo precio por pasajero por idéntico viaje.

Todos estos datos han sido minuciosamente corroborados por la CA del Consejo Deliberante de la Municipalidad de "Vivitos" y vienen al caso por cuanto, en su calidad de Consultor del Poder Ejecutivo Provincial, se le solicita que de su fundada opinión a lo que sigue:

a) ¿Tiene razón el consejal Justo?

b) De aprobarse la propuesta de Justo de imponer un precio máximo único de $10 por viaje por pasajero para penalizar a las empresas transportistas, ¿Cuál sería el perjuicio máximo -promedio por domingo- que cada una de las empresas de ómnibus podrá alegar si la Justicia declarara contraria a derecho la imposición de tal medida punitoria?

c) Si, en cambio, la bancada opositora lograra imponer su proyecto para inducir a las empresas a que maximicen ingresos, el cual consiste en el otorgamiento de un subsidio fijo por empresa y por viaje para quien se acoja voluntariamente a dicha conducta en todos los casos. ¿A cuánto debería ascender como mínimo y como máximo dicho subsidio para aspirar a lograr el efecto deseado en una empresa el menos y en ambas empresas?

 

***EJERCICIO 3:

Si la función de costo total de la empresa y la curva de demanda del mercado es recpectivamente:

CT = 10x + 3x² + 9000

Pd = 490 -3x

obtenga los valores de equilibrio en los siguientes casos:

a) La empresa se comporta como una industria perfectamente competitiva.

b) La empresa se comporta como una empresa líder maximizadora de beneficios que comparte el mercado con un conjunto de empresas competitivas cuya curva de oferta es:

Xc = 1/3 + 1/30P

c) La empresa se comporta como un maximizador de ventas sujeto a una restricción de generar un beneficio operativo (es decir el beneficio antes de deducir los costos fijos) de $4200.

 

***EJERCICIO 4:

La empresa Telefocom debe instalar 500 teléfonos públicos (TP) en distintos locales comerciales de empresas privadas -y maximizadoras de beneficio-. Por su estratégica localización se estima que cada TP tendrá una demanda por parte del público usuario igual a X = 15.000 -5.000Px donde X: número de llamadas mensuales medidas en número de fichas y Px: precio por ficha (al público).

(Nótese que los TP serán instalados lo suficientemente lejos entre si de modo que diferencias en el valor de la ficha en un TP, de existir, no modifican la demanda en los restantes TP. Asimismo téngase presente que el número de solicitudes para que se instalen TP se supone será muy grande por parte de los eventuales tenedores de TP, puesto que se sabe que el TP aumenta la concurrencia a dichos locales y en consecuencia la evolución comercial de los mismos. Se proyecta en $50 + 0,01x el beneficio mensual derivado de este factor para cada tenedor de TP).

En el marco regulatorio de la Concesión de Teléfonos se prevee que Telefocom opte por una de las siguientes modalidades para otorgar el servicio de TP:

a) Dejar en manos del dueño del comercio la fijación del valor -único- de la ficha al público y cobrarle un monto fijo mensual por la instalación del TP más el costo de cada llamada.

b) Cobrarle al tenedor del TP un precio único por cada llamada y otorgarle libertad en cuanto a fijar el valor -único- de la ficha al público (el precio cobrado por Telefocom incluye el costo de éste).

Suponga que el costo de cada llamada es de $0,20 para Telefocom, siendo su costo mensual de mantenimiento del servicio de cada TP de $800, adicionalmente.

¿Cuál alternativa es la más conveniente para Telefocom? (A efectos de responder el interrogante planteado determine en cada caso cantidad demandada, precio (al público) de la ficha, precio de la ficha al comerciante y beneficio mensual del Telefocom.

Compare y comente los resultados obtenidos.

 

***EJERCICIO 5:

Con motivo de la desregulación económica, una provincia ha llamado a licitación para contratar el suministro eléctrico del Sector Público Provincial asegurando, los días laborales una demanda horaria de 1400 Kw durante el horario de 7 a 21 hs. y de 200 Kw en el período de 21 a 7 hs. No demandará energía los días no laborales.

Simultáneamente la Municipalidad de la Capital Provincial ofrece en Concesión el suministro eléctrico de la ciudad -excluído el Sector Público Provincial- cuyas funciones de demanda son:

Xa = 1600 -5Pa + 5Pb

Xb = 3800 + 5Pa -15Pb

Xc = 200 -Pc

donde las cantidades están expresadas en Kw/hora y expresan cantidades por hora que serán demandadas en el período correspondiente:

a: período diurno (día laborable -7 a 21-)

b: período nocturno (día laborable -21 a 7-)

c: período no laborable (0 a 24)

Mensualmente se estiman en 20 los días laborables y en 10 los no laborables (determinando un total de 30 días).

Los pliegos de bases y condiciones de ambos concursos preveen que:

a) Se suministre toda la electricidad que se demande, en concordancia con lo previsto.

b) La tarifa por Kw/hora (o sea Pa, Pb y Pc) al Sector Provincial y al Municipio sea la misma en iguales períodos (no se puede discriminar precios entre consumidores, sí entre períodos).

c) Ganará los concursos quien cotice más bajo las tarifas.

Si el costo de la empresa que asesora es de $4 por Kw/hora generado y el equipo que deberá aportar -y cuya dimensión debe determinar- tiene un costo diario de $9 por cada Kw de potencia de generación que se instale, ¿Cuál será su consejo para obtener la mejor oferta si:

 

(Ayuda: la demanda pico se verifica en el período b). Compare y comente los valores obtenidos en cada caso.

 

***EJERCICIO 6:

Si las funciones de costo total y de demanda son respectivamente:

CT = 50 + 15x + x/100

P = 215,4 -5x

Indique el precio y cantidad de equilibrio en los siguientes casos:

a) La empresa se comporta como una industria perfectamente competitiva.

b) La empresa se comporta como un monopolio maximizador de beneficios.

c) La empresa se comporta como un maximizador de ventas sujeto a una restricción de generar un beneficio de $1933,96.

d) La empresa se comporta como discriminador de precios, pudiendo segmentar el mercado en dos (en este caso se averiguan los precios y cantidades de equilibrio).

e) Identifique y elucide los siguientes conceptos a partir de los casos analizados en los puntos anteriores: costo marginal, ingreso marginal, beneficio extraordinario, ingreso medio, corto plazo, condición de equilibrio, punto de cierre.

 

**EJERCICIO 7:

La empresa Telefocom ha decidido instalar 1000 Teléfonos Públicos (TP) en todo el territorio en distintos locales comerciales de empresas privadas -y maximizadoras de beneficio-. Por su estratégica localización se estima que cada TP tendrá una demanda igual a X = 10.000 -10.000Px donde x: número de llamadas mensuales medidas en número de fichas y Px: precio por ficha.

(Nótese que los TP serán localizados lo suficientemente lejos entre sí de modo que diferencias en el valor de la ficha en un TP, de existir, no modifican la demanda en los restantes TP. Asimismo téngase presente que las solicitudes para que se instalen TP se estima será muy grande por parte de los dueños de los locales comerciales, puesto que se sabe que la presencia de TP aumenta la concurrencia a dichos locales y en consecuencia la evolución comercial de los mismos, proyectándose en $100 el beneficio neto mensual derivado de este factor para cada tenedor de TP).

En el pliego de Concesión de Teléfonos se prevee que el concesionario de la red de teléfonos -en este caso Telefocom- opte por una de las siguientes modalidades para otorgar el servicio de TP:

a) Dejar en manos del dueño del comercio la fijación del valor -único- de la ficha y cobrarle un monto fijo mensual por la instalación del TP más el costo de cada llamada.

b) Fijar el valor de la ficha y otorgarle un porcentaje de dicho valor al comerciante.

c) Cobrarle al tenedor del TP un precio por cada ficha de modo de maximizar beneficios, teniendo en cuenta que aquel lo fijará a su vez al público según su conveniencia.

d) Cobrar un alquiler por el TP y fijar la tarifa al valor de competencia.

Suponga que el costo de cada llamada es de $0,20 para Telefocom, siendo su costo mensual de mantenimiento del servicio de cada TP de $30, $35, $40 y $47,5 en cada una de las alternativas anteriores respectivamente.

¿Cuál alternativa es la más conveniente para Telefocom? ¿Y para cada tenedor? ¿Y para los consumidores?

A efectos de responder los interrogantes planteados determine en cada caso: cantidad demandada, precio (al público) de la ficha, precio de la ficha al comerciante, beneficio mensual de Telefocom, beneficio de cada comerciante, excedente del consumidor.

 

**EJERCICIO 8:

Si la curva de demanda de mercado y la función de costo medio son respectivamente las siguientes:

P = $(102 -10x)

 CMe = $(4/x + 2x + 6)

 Obtenga los valores de equilibrio en cada una de las siguientes alternativas:

a) La empresa se comporta como una industria perfectamente competitiva.

b) La empresa es una maximizadora de ventas sujeta a una restricción de beneficio de $184.

c) La empresa es una discriminadora de precios.

d) La empresa compite con otra cuya curva de costo total es: CT = $(2 + 8x)

 

**EJERCICIO 9:

Una empresa posee la función de producción Y = 6.Ka.Lb ( a = b = 0,5 ) , enfrenta la demanda de mercado Y = 100 -2Py y paga por cada unidad de insumo Pk = 8 y Pl = 18. Determine: 

a) El precio que cobrará si maximiza beneficios.

b) El precio que cobrará si maximiza ventas.

c) Idem a) si aparece un competidor maximizador de beneficios cuyos costos totales son iguales a $10 más un costo unitario fijo de $5 y ambos deben simultaneamente decidir cuánto ofrecer.

 

***EJERCICIO 10:

Si en todos los casos siguientes P = 80 -x/4 (curva de demanda de mercado); determine en cada punto a continuación: 

 1) Un conjunto de empresas competitivas cuya función de oferta es Xc = P/10, compite con la empresa 1 que actúa como líder (maximizadora de beneficios) y cuya función de costo total es CT = (40 + x)x

2) Desaparece el conjunto competitivo quedando sola la empresa 1 que ahora maximiza ventas sujeta a un beneficio no inferior a $320.

3) Desaparece la empresa 1, reaparece el sector competitivo pero se interpone entre consumidores y productores un intermediario ineludible (maximizador de beneficios) tanto para los oferentes como para los demandantes y cuyo costo de operación es de $5 por unidad comprada y $ 2por unidad vendida.

4) Los demandantes se deshacen del intermediario pero actúan como monopsonistas frente al conjunto de oferentes competitivos.

 

**EJERCICIO 11:

Si la curva de demanda de mercado y la función de costo medio son respectivamente las siguientes:

P = $(102 -10x)

CMe = $(4/x + 2x + 6)

Obtenga los valores de equilibrio en cada una de las siguientes alternativas:

a) La empresa es un monopolio maximizador de beneficios.

b) La empresa es una maximizadora de ventas sujeta a una restricción de beneficio operativo de $180.

c) La empresa es una discriminadora de precios que puede segmentar en dos el mercado (ubicando en un segmento a los consumidores que están dispuestos a pagar un mayor precio y en el otro, a los que pueden pagar precios más bajos).

d) La empresa es líder en el mercado en la que participan un conjunto de diez empresas competitivas, cada una con la siguiente curva de costo total :

CT = $(1 + 4x²)

 

**EJERCICIO 12:

Si una empresa enfrenta la curva de demanda del mercado siguiente: P = 64 -2x; y posee costos totales resumidos por la función CT = 2x; si pudiera segmentar en dos el mercado -de modo de satisfacer primero la demanda dispuesta a pagar los precios más altos- ¿A cuánto ascenderán los valores de equilibrio en los siguientes supuestos:

a) Maximiza ventas en ambos segmentos?

b) Maximiza beneficios en ambos segmentos?

c) Maximiza beneficios en el primero y ventas en el segundo?

d) En el supuesto b) debe soportar la competencia de un conjunto de empresas competitivas en cada segmento cuyos costos unitarios se elevarían a $30.

 

**EJERCICIO 13:

Suponiendo que la curva de costos del monopolista fuera la misma que la suma agregada de las de las empresas competitivas, determine el efecto de un impuesto de suma fija por una parte y el de un impuesto por unidad de venta por la otra, en los siguientes casos:

a) Un mercado perfectamente competitivo.

b) Si este mercado hubiera sido monopolizado por un maximizador de ventas.

c) Si este mercado hubiese sido monopolizado por un maximizador de beneficios.

Asuma demandas lineales y costos medios constantes.

 

**EJERCICIO 14:

Una exclusiva y prestigiosa marca de vinos Argentinos se vende aquí y en el Mercosur (mercados entre los cuales -suponga- no es posible arbitrar) y la empresa maximizadora de beneficios debe fijar precio.

a) ¿A cuánto ascenderá si la empresa DEBE vender el producto a igual precio en ambos mercados?

b) ¿Y si pudiera fijar dos precios distintos, uno en cada mercado?

c) Muestre el diferencial de beneficio entre las dos situaciones anteriores.

Asuma demandas lineales y costos medios constantes.

 

**EJERCICIO 15:

Proponga dos modelos que le permitirían racionalizar variaciones nulas en el precio de un producto X ante variaciones en los costos marginales de las empresas que lo comercializan.

 

**EJERCICIO 16:

Si una empresa productora de x posee una función de producción del tipo Cobb-Douglas con elasticidades de producción para cada uno de los insumos -A y B- igual a 0,5 y 1 respectivamente siendo el parámetro constante igual a 8, a la vez que enfrenta precios de los insumos A y B iguales a $10 y $20, encuentre:

a) La proporción óptima mínima de factores para 400 unidades del producto.

b) El costo unitario mínimo de cada unidad de x en el supuesto a)

c) La cantidad de x que se ofrecería si el volumen del insumo B que se estableció en b) se convierte en insumo fijo y sólo se puede variar el factor A, al enfrentar un precio para x de $40.

 

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